تبدیل فوریه و کاربردهای آن
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
در ریاضیات، سری فوریه، تابعی است که با استفاده از آن می توان هر تابع متناوب را به صورت جمعی از توابع نوسانی ساده(سینوسی، کسینوسی و یا تابع نمایی مختلط ) نوشت.این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید. سپس متوان محاسبات پیچیده ی حوزه زمان را به راحتی در حوزه فرکانس انجام داد و با عکس تبدیل فوریه به حوزه زمان انتقال داد.
ین درس نگاهی مفصل به آنالیز فوریه و کاربرهای آن میکند ، تمرینات و مسائل هر بخش را میتوان از وبسایت زیر تهیه کرد

برای وبسایت اصلی درس اینجا کلیک کنید



برد اوسگود
برد اوسگود فارغ التحصیل رشته ریاضی از دانشگاه میشگان در سال 1980 است . سپس وی به مرتبه استادیاری در هاروارد پذیرفته شد. در 1985 به استنفورد رفت و هم اکنون استاد تمام این دانشگاه است.
او برنده جایزه بهترین استاد استنفورد است، زمینه فعالیت و علاقه ی او ریاضیات ، تحیلیل پیچیده ، پروسس سیگنال و مدارات آنالوگ میباشد
لیست درسها و جلسات:

جلسه 1 - دانسته های پیشین (متلب)، سری فوریه، پدیده های متناوب و سری های فوریه (تناوب در زمان و فضا)، رابطه دو جانبه بین دامنه ها و بین فرکانس و طول موج

جلسه 2 - تناوب، چگونگی استفاده از توابع سینوس و کسینوس برای مدل کردن توابع پیچیده تر، ایده های مدل کردن سیگنال بر اساس مجموع سینوسی های تغییر یافته، خاصیت تقارن در ضرایب مختلط فوریه، عمومیت استفاده از سری فوریه برای مدل کردن توابع متناوب

جلسه 3 - ضرایب فوریه، میزان عمومیت سری فوریه، ناپیوستگی و اثر آن بر تعمیم یافتگی سری فوریه، جمع نامحدود برای نمایش بیشتر سیگنال های متناوب، مسائل همگرایی

جلسه 4 - به نتیجه رساندن سری های فوریه، درک جمع های محدود و همگرایی، انتگرال پذیری، تعامد در توان های مختلط، ضرب داخلی و نرم، تصویر ضرایب فوریه بر توان های مختلط، کاربردهای سری فوریه در جریان گرمایی

جلسه 5 - ادامه سری فوریه و معادله گرما، انتقال از سری فوریه به تبدیل فوریه، آنالیز و ترکیب سری فوریه، ارتباط تبدیل فوریه و معکوس آن، تصویر طیفی از سری فوریه با دوره تناوب T، تعیین تبدیل فوریه برای T وقتی به بی نهایت میل کند

جلسه 6 - تصحیح بحث معادله گرما، تنظیمات مشتق تبدیل فوریه از سری فوریه، تنایج اشتقاق، تعریف تبدیل فوریه و معکوس آن، راز بزرگ جهان: یک طیف برای هر سیگنال برای مشخص کردن آن

جلسه 7 - مروری بر تبدیل فوریه، مروری بر تبدیل مستطیل و مثلث، مثال: تبدیل فوریه یک گوسی، خاصیت دوگانی تبدیل فوریه و کاربرد آن

جلسه 8 - تاثیر شیفت سیگنال بر تبدیل فوریه، فرمول تاخیر (قضیه شیفت)، اثرات مقیاس گذاری سیگنال زمانی، قضیه بسط دادن، مفهوم کانوولوشن در تبدیل فوریه، ضرب دو سیگنال در حوزه فرکانس، فرمول کانوولوشن

جلسه 9 - ادامه کانوولوشن،فیلتر کردن و ایده های پشت آن، کانوولوشن در حوزه زمان و خواص آن، قضیه اشتقاق برای تبدیل فوریه، معادله گرما روی یک میله نامحدود

جلسه 10 - قضیه حد مرکزی و کانوولوشن، نرمال سازی گوسی، نمایش تصویری با کانوولوشن، تنظیمات CLT، توزیع مجموع با کانوولوشن (با اثبات)، شرح قضیه حد مرکزی، استفاده از تبدیل فوریه برای اثبات CLT

جلسه 11 - اصلاح پایان اثبات CLT، بحث همگرایی انتگرال، رویکردهایی برای ارائه تعریف مقاوم تری از تبدیل فوریه، مثال هایی از سیگنال های پیچیده، انتخاب پدیده اصلی برای توضیح سایر پدیده ها، تشخیص بهترین کلاس سیگنال ها برای تبدیل فوریه و خواص آن ها، تعریف توابع به سرعت در حال کاهش، منطق استفاده از این خواص

جلسه 12 - داستان Cop، توابع تعمیم یافته، در نظر گرفتن تابع دلتا به عنوان حد یا عملکرد، تعریف توزیع و دلتا به عنوان یک توزیع، چگونگی تعریف توابع معمولی در این فضا

جلسه 13 - تبدیل فوریه برای یک توزیع، توزیع شدگی در اثر توابع، تبدیل فوریه توزیع، کلاس توزع های خو گرفته و تبدیل فوریه آن، تعریف تبدیل فوریه و معکوس آن، محاسبه تبدیل فوریه با استفاده از تعریف

جلسه 14 - مشتق یک توزیع، مثال: مشتق تابع پله واحد، تابع علامت، کاربردهای سری فوریه، پیش بینی احتیاطی برای توزیع: ضرب توزیع ها، حالت خاص: تابع دلتا و نمونه گیری، کانوولوشن در توزیع ها

جلسه 15 - کاربردهای تبدیل فوریه: دیفرانسیل، نمایش میدان الکتریکی، استفاده از اصل Huyghens، بحث تغییر فاز در ارتباط با مسیرهای مختلف، کاربردهای تقریب فرانهوفر، تابع روزنه،

جلسه 16 - نتایج بیشتر از درس جلسه قبل،مقدمات بحث بلور شناسی، تبدیل فوریه تابع Shah، فرمول مجموع پواسن، اثبات و بتدیل فوریه آن، کاربردهایی از کریستال ها

جلسه 17 - مروری بر خواص اصلی تابع Shah، مقدمات مسئله درون یابی، فرض پهنای باند، حل برای درون یابی دقیق برای سیگنال های با پهنای باند محدود، تناوبی کردن سیگنال، راه حل مسئله درون یابی

جلسه 18 - مروری بر نتایج درون یابی، اصطلاحات: نمونه برداری، نرخ نایکوئیست، فرمول درون یابی در کاربردهای واقعی، تشابه و درون یابی، برهان ها و مثال ها

جلسه 19 - نمایش تشابه سیگنال در با موسیقی، تبدیل فوریه گسسته(DFT)، انتقال به زمان گسسته، ایجاد سیگنال گسسته با نمونه برداری، خلاصه ای از کارهای انجام گرفته، انتقال از متغیرهای پیوسته به گسسته

جلسه 20 - تعریف تبدیل فوریه گسسته، نقاط نمونه، رابطه بین تعداد و فاصله در زمان/فرکانس، نمایی های مختلط در DFT با بردارهای نمایی گسسته، تعامد در بردارها، نتایج تعامد (DFT معکوس)

جلسه 21 - مروری بر تعاریف DFT: مقدار DFT در 0، DFT برای بردار دلتا، DFT به عنوان ضرب ماتریسی N*n، تناوب سیگنال های ورودی/خروجی، نتیجه تناوب: دوگانی

جلسه 22 - الگوریتم تبدیل فوریه سریع (FFT): مقدمات، شهود، رویکرد ما: شکستن مرتبه N به دو مرتبه N/2، تکرارشونده، نمادهای جدید در DFT، شکستن به اندیس های زوج و فرد، نتایج برای اندیس های مختلف، خلاصه

جلسه 23 - سیستم های خطی، تعاریف اساسی، تناسب مستقیم، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، قضیه طیفی و یافتن بردارهای ویژه پایه، ضرب ماتریسی: سیستم های خطی با بعد محدود، ادغام در مقابل تعمیم

جلسه 24 - مرور جلسه قبل: سیستم های خطی گسسته در مقابل پیوسته، سیستم های خطی آبشاری، ایجاد پاسخ ضربه، قضیه کرنل Schwarz، حالت خاص: کانوولوشن، تغییرناپذیری با زمان، خلاصه

جلسه 25 - سیستم های خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI)و کانوولوشن، سیستم های گسسته و تغییر ناپذیر با زمان، تبدیل فوریه سیستم های LTI، نمایی های مختلط به عنوان توابع ویژه، حالت گسسته و نتایج آن

جلسه 26 - رسیدن به تبدیل فوریه با ابعاد بالاتر، تعاریف در قالب بردارها، تبدیل فوریه معکوس، رابطه دوجانبه بین حوزه زمان و فرکانس، تجسم نمایی های دوبعدی

جلسه 27 - مروری بر جلسه قبل، تبدیل فوریه توابع جداپذیر: نتایج و مثال: گوسی دو بعدی، تابع شعاعی و اثبات حفظ رابطه شعاعی، کانوولوشن در ابعاد بالا

جلسه 28 - قضیه انتقال در ابعاد بالا: نتایج، قصیه بسط و نتایج، حالت خاص: تغییر مقیاس و چرخش، معنای رابطه دوجانبه در ابعاد بالا، توابع دلتا در ابعاد بالا،

جلسه 29 - توابع Shah، شبکه ها و کریستال ها، تبدیل فوریه توابع یاد شده، کریستال ها به عنوان شبکه، نمادها ، مفاهیم و نتایج، کاربردها در تصویربرداری پزشکی

جلسه 30 - نکاتی در جهت تکمیل مباحث، پرتونگاری و معکوس تبدیل رادون، معرفی مختصات، دلتا در راستای خط A، انتگرال U در امتداد خط A