ریاضیات گسسته

درس ریاضی گسسته یکی از دروس مقدماتی دانشکده‌ی ریاضی است. این درس به معرفی بخش‌های مختلفی از ریاضی گسسته شامل منطق ریاضی، نظریه‌‌ی مجموعه‌ها، آنالیز شمارشی، روابط بازگشتی، توابع مولد و نظریه‌ی گراف می‌پردازند. دوره‌ آموزش ریاضیات گسسته فعلی در نیمسال دوم سال تحصیلی 1391 در دانشکده‌ی ریاضیات دانشگاه صنعتی شریف تدریس شده است که در ادامه به معرفی آن خواهیم پرداخت.

دوره آموزش ریاضیات گسسته

دوره آموزش ریاضیات گسسته به آموزش سرفصل‌های این درس می‌پردازد و از کلاس‌های دانشگاه صنعتی شریف ضبط و در مکتب خونه قرار داده شده است. استاد این درس، جناب دکتر میر امید حاجی میرصادقی بوده که از اساتید برجسته رشته ریاضی این دانشگاه به‌حساب می‌آید. درس ریاضی گسسته در 28 جسله تدریس شده که مدت زمان لازم برای گذارندن این دوره 37 ساعت خواهد بود.

دوره آموزش ریاضیات گسسته برای چه کسانی مناسب است؟

دوره آموزش ریاضیات گسسته برای دانشجویان رشته مهندسی و علوم کامپیوتر ضروری است و در عین حال دانشجویان رشته مهندسی صنایع و حتی دانشجویان پیش دانشگاهی نیز مناسب به‌حساب می‌آید. همچنین از مباحث ریاضیات گسسته که در دوره آموزش رایگان ریاضیات گسسته توضیح داده می‌شود، می‌توانید برای شرکت در المپیاد کامپیوتر و یا المپیاد ریاضی در دوره‌ی متوسطه و دبیرستان نیز استفاده کنید.

پیش‌نیاز دوره آموزش ریاضیات گسسته چیست؟

پیشنهاد می‌شود که برای درک بهتر مبحث این درس و پیش از شروع این دوره، دوره‌ی آموزشی آمار و احتمال مهندسی دانشگاه صنعتی شریف که توسط دکتر علی شریفی زارچی تدریس شده است را مشاهده کنید. همچنین پس از مشاهده‌ی دوره‌ آموزش رایگان ریاضیات گسسته می‌توانید به عنوان مباحث تکمیلی دوره‌ی منطق ریاضی، که در دانشکده‌ی ریاضیات دانشگاه تهران توسط دکتر مجید علیزاده تدریس شده و همچنین دوره‌ی فلسفه‌ی ریاضی که در دانشکده ریاضیات دانشگاه صنعتی شریف توسط دکتر سیاوش شهشهانی تدریس شده است را مشاهده کنید.

سرفصل‌های درس ریاضیات گسسته 

سرفصل‌های این دوره آموزش ریاضیات گسسته به ترتیب در ادامه مطلب بیان خواهند شد:

• فصل اول: حساب گزاره‌ها - گزاره و انواع آن، عملگرهای منطقی، شرطی و دو شرطی، هم‌ارزی‌های منطقی، قوانین دمورگان (De Morgan's Laws)، تابع ارزش و غیره در این بخش بیان می‌شوند.
• فصل دوم: استلزام منطقی - قاعده‌های استنتاج، قیاس تعدی، استثنایی و عکس، ترکیب عطفی، بسط فصلی رزولوشن (Resolution)، سازگاری و.‌‌.. نیز مطالبی هستند که در این فصل آموزش داده می‌شوند.
• فصل سوم: سورها - دروس این سرفصل گزاره‌نما، متغیرهای آزاد و مقید، استفاده از سورها در علم کامپیوتر، نقیض سورها، سورهای تو در تو، ترتیب سورها و قواعد استنتاج برای گزاره‌های شامل سور هستند.
• فصل چهارم: مجموعه‌ها - مجموعه، نمودار ون (Venn Diagram)، زیرمجموعه، عملیات روی مجموعه‌ها، حاصل‌ضرب دکارتی (کارتزین)، قانون‌های نظريه مجموعه‌ها از دروس سرفصل‌های دوره آموزش ریاضیات گسسته هستند.
• فصل پنجم: رابطه و تابع - تعریف رابطه، تعداد رابطه‌های تعریف شده روی مجموعه، خواص رابطه‌ها، تشخیص خواص به کمک گراف جهت‌دار، تشخیص خواص به کمک ماتریس، شمارش تعداد رابطه‌ها و..‌  دروس رابطه و تابع می‌باشند.
• فصل ششم: رابطه و هم‌ارزی - رابطه هم ارزی، کلاس هم ارزی، افراز بستار و روابط در این فصل تدریس می‌شوند.
• فصل هفتم: ترتیب جزئی، لاتیس، جبر بول ترتیب جزئی - ترتیب جزئی، عناصر مقایسه‌پذیر، ترتیب کامل، نمودار هاس (Hasse Diagram)، عضو ماکسیمال و مینیم، ماکسیمم و مینیمم دروس این فصل می‌باشند.
• فصل هشتم: ساختارهای جبری - از دروس این فصل می‌توان عملیات n تایی، خواص، دستگاه جبری، همومورتیسم‌ها و... نام برد. 
• فصل نهم: شمارش - اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت یا تبدیل، جایگشت‌های با تکرار، ترکیب دروس فصل شمارش هستند.
• فصل دهم: روابط بازگشتی - از درس‌های این فصل روابط بازگشتی، تعریف رابطه بازگشتی، برج هانویمساله، زادوولد خرگوش‌‌ها و دنباله فیبوناچی، مولد تابع مولد نمایی، حل روابط بازگشتی با استفاده از تابع مولد و... تدریس می‌شوند. 
• فصل یازدهم: گراف - در این فصل تعریف گراف، نمایش گراف، رنگ‌آمیزی گراف، چندجمله‌ای فامی و... تدریس خواهند شد. 
• فصل دوازدهم: درخت‌ها - تعریف درخت، جنگل، درخت ریشه‌دار، پدر (Parent)، فرزند (Child) و همزاد (Sibling)، جد (Ancestor) و نوه (Descendant)، برگ و راس داخلی از دروس سرفصل‌های درخت‌ها هستند.

کتاب مرجع درس:
Introductory Discrete Mathematics, V. K. Balakrishnan

مقدمه‌ای بر ریاضیات گسسته

علم ریاضیات را به روش‌های مختلفی می‌توان تقسیم کرد. یکی از این روش‌های تقسیم کردن این است که ریاضی را به بخش گسسته و پیوسته تقسیم کنیم. به این ترتیب ریاضیات گسسته فقط با عناصر گسسته ارتباط دارد و مفاهیمی که در فضای پیوسته معنا پیدا می‌کنند را در این درس مشاهده نمی‌کنید. بر فرض مثال مباحث ترکیبات و توزیع‌های گسسته‌ی احتمالات را می‌توان جزئی از ریاضیات گسسته فرض کرد و مباحث دیگر احتمالات را جزئی از ریاضیات پیوسته قلمداد کرد.

مثلاً اصل ضرب و توزیع پواسون بخشی از ریاضیات گسسته هستند و توزیع نرمال بخشی از ریاضیات پیوسته. یکی از دلایل اهمیت روز افزون ریاضیات گسسته، ارتباط تنگاتنگی است که این مبحث با علوم رایانه و برنامه‌نویسی دارد. از آنجایی که اهمیت علوم رایانه در رشته‌های مختلف درسی و دانشگاهی روزبه‌روز بیشتر می‌شود؛ می‌توان گفت که مطالعه‌ی ریاضیات گسسته برای طیف گسترده‌ای از افراد لازم و ضروری است. نظریه گراف، منطق ریاضی، فلسفه ریاضی، زنجیره‌های مارکوف، تئوری صف، احتمالات، برهان، اصل شمارش و غیره از مهم‌ترین مباحث ریاضی گسسته هستند که شما در این دوره آموزش ریاضیات گسسته با بخشی از آن‌ها آشنا خواهید شد.

ریاضیات گسسته چیست و چرا به مطالعه آن نیاز داریم؟

ریاضیات گسسته به عنوان یکی از دروس اصلی در دانش ریاضی به‌حساب می‌آید. این علم هم‌چنین در رشته مهندسی کامپیوتر و مهندسی IT یا حتی دنیای واقعی کاربرد خواهد داشت. مسائلی مانند منطق ریاضی، نظريه‌ی مجموعه‌ها، آنالیز شمارشی، روابط بازگشتی، توابع مولد و نظريه گراف در ریاضیات گسسته مورد بحث قرار می‌گیرند. شما به عنوان یک دانش‌آموز می‌توانید از آموزش ریاضیات گسسته در جهت آمادگی برای شرکت در المپیاد کامپیوتر یا المپیاد ریاضی بهره ببرید. البته این آموزش‌ها در مقاطع دانشگاهی در رشته‌های مهندسی کامپیوتر، صنایع و غیره نیز تدریس می‌شوند. 

اهمیت مطالعه علم ریاضیات گسسته 

برای بیان اهمیت ریاضیات گسسته می‌توان موارد بی‌شماری را بیان کرد که این دانش جایگاه مهمی در محدوده علم دارد. تکنیک‌های بهینه‌سازی ریاضیات گسسته در حل بسیاری از مسائل در تحقیقات عملیاتی کاربردی هستند. تحقیقات عملیاتی شیمی، مهندسی، زیست‌شناسی و غیره را شامل می‌شود. با مطالعه این دانش بلوغ ریاضی در شما توسعه پیدا می‌کند. به این معنا که در درک و ایجاد استدلال‌های ریاضی توانایی خوبی پیدا می‌کنید.

در مهندسی کامپیوتر نیز دستیابی به دانش کاربردی با کمک درس ریاضیات گسسته ممکن می‌شود. در مهندسی کامپیوتر از ریاضیات گسسته به عنوان پلی برای رساندن مراحل نظری به مرحله عملی استفاده می‌شود. بنابراین افراد متخصص علوم کامپیوتر با درک عمیق‌تری مفاهیم کامپیوتری را درک می‌کنند و هم‌چنین با کمک کامپیوتر می‌توانند انجام‌ دادن بسیاری از امور روزمره را ساده کنند. علاوه بر این‌ها کتاب‌های  Introductory Discrete Mathematics نوشته V. K. Balakrishnan می‌توانند منابع خوبی برای یادگیری ریاضیات از نوع گسسته آن باشند. 

تاریخچه‌ی ریاضیات گسسته

شاید قدیمی‌ترین بخش ریاضیات در کنار هندسه، همین ریاضیات گسسته باشد و تا پیش از قرن 17 میلادی که مباحثی جدید مثل: مجموعه‌ی اعداد حقیقی، انتگرال و مشتق مطرح نشده بودند، ریاضیات را همین بخش گسسته تشکیل می‌داد. اما پس از طرح مباحث مذکور، بخش جدیدی تحت عنوان ریاضیات پیوسته تشکیل شد و مباحث قدیمی ریاضیات با نام ریاضیات گسسته شناخته شدند.

اما این بدان معنا نیست که ریاضیات گسسته قدیمی شده و کاربردش را از دست داده، اتفاقاً با توسعه‌ی علوم کامپیوتر و اهمیت ریاضیات گسسته در برنامه‌نویسی، ریاضی گسسته اهمیت بیشتری پیدا کرده و همچنین مباحث و مسائل جدیدی در این حوزه مطرح شده است.

کاربردهای اصلی ریاضی گسسته در چه حوزه‌هایی است؟

ریاضیات گسسته در حوزه‌های مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد که از مهم‌ترین آن‌ها می‌توان به موارد زیر اشاره کرد.

رمزنگاری

یکی از کاربردهای ریاضیات گسسته در رشته‌ی رمزنگاری است که شما در صورت علاقه‌ی بیشتر به این مبحث می‌تواند دوره‌ی آموزش رایگان رمزنگاری که توسط دکتر جواد کاظمی‌تبار در دانشگاه صنعتی شاهرود تدریس شده است را مشاهده بفرمایید. رشته‌ی رمزنگاری به طور ساده رشته‌ای است که بر روی چگونگی ایجاد ساختار امنیتی و کلمه عبور برای کامپیوترها و سیستم‌های الکترونیکی تحقیق می‌کند و یکی از دلایل اهمیت ریاضیات گسسته در این حوزه این است که کامپیوترها اطلاعات را به صورت گسسته ارسال می‌کنند.

 الگوریتم‌های کامپیوتری

یکی دیگر از اهمیت‌های ریاضی گسسته مبحث الگوریتم‌های کامپیوتری است. از آنجایی که برنامه‌نویسان الگوریتم‌ها را بر اساس قوانین ریاضیات گسسته طراحی می‌کنند و این الگوریتم‌ها اهمیت بسیار بالایی در کامپیوترها دارد، ریاضیات گسسته در این حوزه نیز بسیار پرکاربرد است. پیشنهاد می‌شود تا در صورت علاقه به مبحث الگوریتم‌ها، دوره‌ی آموزشی رایگان طراحی الگوریتم که در دانشکده‌ی کامپیوتر دانشگاه صنعتی شریف و توسط دکتر علی شریفی زارچی تدریس شده است را مشاهده بفرمایید. ریاضی گسسته در حوزه‌های دیگری مانند لجستیک و زنجیره تأمین، طراحی سیستم‌های نوبت‌دهی، طراحی خط تولید و غیره نیز کاربرد دارد.

کاربرد ریاضیات گسسته در مهندسی کامپیوتر 

ریاضیات گسسته به عنوان علم محاسباتی علوم کامپیوتر شناخته می‌شود. در علم کامپیوتر الگوریتم کامپیوتری، زبان‌های برنامه‌نویسی، رمزنگاری، توسعه نرم‌افزارهای کاربردی از طريق اين دانش ممکن شده است. کاربردهای این علم از ریاضیات در کامپیوتر عبارت است از: 

• یادگیری برنامه‌نویسی
• آشنایی با سیستم‌عامل
• بخش محاسبات تئوری
• پایگاه داده رابطه‌ای
• بخش تئوری گراف
• الگوریتم‌های کامپیوتری
• اطلاعات بخش تئوری
• یادگیری رمزنگاری
• آموزش نظریه احتمال گسسته
• مبحث درخت‌ها
• آشنایی با هندسه محاسباتی و گسسته 

جمع‌بندی 

ساختمان گسسته از درس‌های اصلی است که در علم ریاضیات مورد بررسی قرار می‌گیرد. بسیاری از دانش آموزان برای شرکت در المپیادها از این دانش بهره می‌گیرند. هم‌چنین این درس در رشته‌های مهندسی کامپیوتر و IT در مجامع دانشگاهی کاربرد خواهد داشت. ریاضیات گسسته بهترین علم برای تبدیل محتواهای نظری به عملی خواهد بود. اگر به فکر یادگیری مبانی ریاضیات گسسته هستید، هم‌اکنون با ثبت‌نام در دوره آموزش ریاضیات گسسته اولین و مهم‌ترین قدم در این زمینه را بردارید.