از گرافن و خواص آن چه می دانیم؟

گرافن چیست

گرافن یک آرایه‌ی دوبعدی از اتم‌های کربن است که در ساختار صفحه‌ای شش وجهی قرار گرفته‌اند. در طول دهه اخیر این ماده از سوی محققان توجه بسیاری را به خود جلب کرده است که به دلیل ویژگی‌های فیزیکی و شیمیایی منحصر به فرد آن است. در ادامه با مفهوم گرافن چیست بیشتر آشنا می شویم.

ویژگی های گرافن چیست

به علت داشتن ویژگی‌های فوق‌العاده در رسانندگی الکتریکی و رسانندگی گرمایی، چگالی بالا و قابلیت حرکت بالای حامل‌های بار، رسانندگی اپتیکی و خواص مکانیکی به ماده‌ای منحصر به‌فرد تبدیل شده است. گرافن نام یکی از آلوتروپ‌هاي کربن است.

 

 

چگونگی پیوند در گرافیت

در گرافیت (یکی دیگر از آلوتروپ‌هاي کربن)، هر کدام از اتم‌هاي چهارظرفیتی کربن، با سه پیوند کووالانسی به سه اتم کربن دیگر متصل شده‌اند و یک شبکه‌ی گسترده را تشکیل داده‌اند.

این لایه خود بر روي لایه‌ای کاملاً مشابه قرار گرفته‌است و به این ترتیب، چهارمین الکترون ظرفیت نیز یک پیوند شیمیایی داده‌است، اما پیوند الکترون چهارم، از نوع پیوند واندروالسی است که پیوندی ضعیف است. به همین دلیل لایه‌های گرافیت به راحتی بر روی هم سر می‌خورند و می‌توانند در نوک مداد به کار بروند (شکل1).

گرافن ماده‌ای است که در آن تنها یکی از این لایه‌های گرافیت وجود دارد و به عبارتی چهارمین الکترون پیوندی کربن، به عنوان الکترون آزاد باقی مانده‌است. طول پیوند کربن ـ کربن در گرافن در حدود 0.142 نانومتر است.

از یک دیدگاه اپتوالکترونیک، گرافن هم از نظر الکتریکی رسانا است و هم از نظر نوری شفاف، هر دوی این خواص هم‌ز‌مان به ندرت در یک ماده رخ می‌دهد-که آن را برای نسل بعدی رساناهای شفاف گزینه‌ای مناسب می‌کند.

تاریخچه گرافن چیست

اصطلاح گرافن اولین بار در سال 1962 میلادی معرفی شد. بسیاری از دانشمندان تصور می‌کردند که ورقه کربن با این ضخامت اندک و برابر با قطر یک اتم کربن، نمی‌تواند پایدار باشد.

برای سال‌های طولانی پس از آن تحقیقات متوقف شده بود تا اینکه در سال 2004 نووسلوف و گایم برای نخستین بار به شکل موفقیت‌آمیزی توانستند ورقه‌های گرافن را با استفاده از نوار چسب جدا کنند.

 

 

استفاده از نوار پیوسته 

نوار پیوسته استفاده شد تا گرافیت را به ورقه‌های نازک‌تری جدا کند. سپس نوار با تکه‌های گرافیت مجزا در استون حل شد و بعد از چند فرآیند، تکه‌های شامل تک‌لایه روی یک قرص سیلیکونی رسوب داده شد. همچنین جهت کنترل مراحل مذکور از یک میکروسکوپ نوری استفاده شده است که این روش به نوار اسکاچ معروف شده است.

آلوتروپ های کربن

گرافن بلوک اساسی سازنده‌ی مواد گرافیتی در هر سه بعد است (شکل2). گرافن می‌تواند به صورت‌های صفربعدی فولرن‌ها پیچیده شود، یک‌بعدی به صورت نانولوله در بیاید و یا به صورت گرافیت سه بعدی در بیاید.

از نظر تئوری گرافن یا همان گرافیت دو بعدی بیش از شصت سال پیش مورد بررسی قرار گرفت و به صورت گسترده برای تشریح ویژگی‌های مواد گوناگون مبتنی بر کربن استفاده شده است.

 

فواید گرافن چیست

یک صفحه تک اتمی، یک کریستال دوبعدی است به طوری‌که 100 لایه باید در نظرگرفته شود تا بتوانیم آن را یک فیلم نازک 3 بعدی بنامیم. اما چند لایه نیاز است پیش از آن که ساختار را به عنوان 3 بعدی در نظر بگیریم؟

در مورد گرافن نشان داده شده است که ساختار الکترونیکی به سرعت با تغییر تعداد لایه‌ها تغییر می‌کند و محدودیت 3 بعدی گرافیت در 10 لایه رخ می‌دهد. علاوه بر این تنها گرافن و با تقریب خوبی گرافن 2 بعدی طیف‌های الکترونیکی ساده‌ای دارند. هر دوی آن‌ها نیم‌ر‌ساناهایی با گاف نواری صفر هستند.

با یک نوع از الکترون و یک نوع از حفره. برای سه لایه و بیشتر، طیف‌ها پیچیده می‌شوند. چندین حامل بار ظاهر می‌شود و نوارهای ظرفیت و هدایت شروع به هم‌پوشانی می‌کنند.

با توجه به این مسئله گرافن تک، دو و چند (بین 3 تا 10) لایه به عنوان 3 نوع متفاوت از کریستال دوبعدی شناخته می‌شوند.

 

 

روش‌های ساخت گرافن چیست

امروزه روش‌های بسیار متنوعی برای ساخت گرافن به کار برده می‌شود که از متداول‌ترین آن‌ها می‌توان روش‌های لایه‌برداری مکانیکی، لایه‌برداری شیمیایی، سنتزشیمیایی و رسوب بخار شیمیایی را نام برد.

برخی روش‌های دیگری همانند شکافتن نانو لوله‌های کربنی و ساخت با امواج ماکرویو نیز به تازگی به کار برده شده‌اند. یک نمای کلی از روش‌های ساخت گرافن در زیر آمده است:

• از پایین به بالا

1. شکافت گرمایی
2. رسوب بخار شیمیایی
3. پلاسما
4. گرمایی

• از بالا به پایین

1. لایه‌برداری مکانیکی
2. چسب نواری
3. لایه‌برداری شیمیایی
4. سنتز شیمیایی
5. با امواج فراصوتی
6. روش شیمیایی.

روش‌های شیمیایی برای ساخت گرافن چیست

گسترش روش‌های گوناگون برای ساخت گرافن باعث شده تحقیقات بسیاری در این زمینه صورت بگیرد. گرافن به 4روش ساخته شده است. همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، اولین روش رسوب‌د‌هی بخار شیمیایی و رشد هم ‌بافته بود مانند تجزیه‌ی اتیلن روی سطح‌های نیکل.

 

 

دومین روش، لایه‌برداری میکرومکانیکی گرافیت بود. این روش در ادامه‌ی کارهای اولیه روی لایه‌برداری میکرومکانیکی گرافیت صورت گرفت. روش سوم رشد هم‌بافته روی سطح‌های عایق الکتریکی مانند SiC بود و چهارمین روش ساخت تعلیق کلوئیدی بود.

تولید نمونه‌های کوچک گرافن

لایه‌برداری میکرومکانیکی نمونه‌های کوچک گرافن را ایجاد می‌کند که می‌توانند برای مطالعات اولیه مناسب باشند. گرچه فیلم‌های گرافنی با سطح بزرگ (تا 1 سانتی‌متر مربع) از یک تا چند (تعداد کمی) لایه‌ی گرافنی با روش رشد رسوب دهی بخار شیمیایی روی بسترهای فلزی ساخته شده‌اند.

 

روش‌ رسوب بخار شیمیایی

رسوب بخار شیمیایی یک روش ساخت بالا به پایین است که عموماً فیلم‌های پیوسته با ورقه‌های با مقاومت چند صد اهم بر متر مربع و تلفات نوری نزدیک به ایده‌آل یعنی 2.3 درصد در هر لایه تولید می‌کند که باعث محبوبیت آن در بین جامعه محققان شده است.

در یک فرآیند رسوب بخار شیمیایی معمولی، رشد بستر (اغلب ورقه مس یا فیلم نازک نیکل) در دماهای بالا (حدود 1000 درجه سلسیوس) در یک محیط کاهنده حرارت داده می‌شود. پس از حرارت دادن (پخته شدن)، یک منبع کربن مانند متان وارد اتاقک رشد می‌شود. دمای بالای تزویج شده با خواص کاتالیزوری باعث تجزیه و آب شدن کربن می‌شود (شکل 4).

 

 

عموماً وقتی بحث درباره‌ی شرایطی باشد که بستر قابلیت حل کردن کربن بالایی داشته باشد مانند نیکل در اکثر شرایط ساخت، حل شدن کربن وقتی تا دمای اتاق سرد شود با شتاب زیادی افزایش می‌یابد.

روش‌ لایه‌برداری مکانیکی

به دلیل این‌که نیروی بین لایه‌های گرافن ضعیف هستند، لایه‌های منفرد می‌توانند از گرافیت جدا شده و به یک بستر دلخواه با استفاده از کم‌ترین نیرو و از طریق نوار آزمایشگاه استاندارد، منتقل شوند.

این ورقه ورقه شدن میکرومکانیکی لایه‌های گرافن به عنوان لایه‌برداری مکانیکی گرافن شناخته می‌شود.

 

 

قرارگیری گرافن روی سیلیکون دی‌اکسید

گرچه گرافن تقریباً از نظر نوری شفاف است ( تنها حدود 2.3 درصد از نور مرئی را جذب می‌کند)، وقتی تک لایه گرافن روی سیلیکون دی‌اکسید با ضخامت مناسب قرار می‌گیرد، تداخل با نور سفید باعث تضاد کافی برای تشخیص تک‌لایه گرافن در یک میکروسکوپ نوری می‌شود.

در نور سفید، هم ضخامت اکسید 90 میلی‌متر و هم 300 میلی‌متر امکان شناسایی تک‌لایه گرافن را روی SiO₂ مهیا می‌کنند.

خواص نوری گرافن چیست

جذب نوری گرافن به صورت تئوری 2.3 درصد در هر لایه است که مقدار مناسبی است و تزویج مناسب بین نور و الکترون‌های نسبیتی است.

 

برهم­کنش نور با فرمیون­‌های دیراک در گرافن معمولاً به صورت هدایت دینامیکی (نوری) که به صورت تئوری و با تقریب در سطوح مختلف مورد بررسی قرار گرفته است، بیان می‌­شود. در ساده‌­ترین حالت، با توصیف حالت‌های الکترونی با همیلتونین، هدایت دینامیکی به صورت زیر است:

(مقدار ثابت ذکر شده مربوط به قسمت حقیقی هدایت است). که در آن σ هدایت دینامیکی گرافن و  D چگالی حالت‌ها در گرافن است و G0 یک مقدار ثابت است. از آن‌جا که چگالی حالت­‌ها در گرافن دارای تغییرات خطی در فرکانس است. در ادامه به بررسی ماهیت این پدیده می‌پردازیم.

هدایت نوری در دمای صفر

طبق آزمایش‌ها و نیز کارهای تئوری صورت گرفته قسمت حقیقی هدایت نوری در دمای صفر با توجه به رابطه‌ی زیر بیان می­‌شود:

که در آن‌ها T دما بر حسب کلوین است. منحنی ­های نشان داده شده در شکل‌­های (6 الف و ب) تأثیر پارامترهای دما، پتانسیل شیمیایی و پراکندگی ناخالصی را بر قسمت حقیقی هدایت نوری نشان می­‌دهد. همان‌گونه که انتظار می­‌رفت در مقادیر بسیار بزرگ Ω به مقدار ثابت پیش­تر ذکرشده همگرا می­‌شود.

با در نظر گرفتن قسمت موهومی هدایت نوری، رابطه‌­ی زیر را خواهیم داشت:

 

نمودارهای قسمت حقیقی و موهومی هدایت برای حالتی که نرخ خالص پراکندگی صفر در نظر گرفته شده، به ترتیب در شکل­‌های (7 الف و ب) نشان داده شده است.

 با تبدیل G0 به متغیرهای قابل اندازه‌­گیری مانند عبور نوری T و بازتاب نوری مشخص شده است که رابطه زیر برقرار است:

در واقع گرافن کمتر از0.1 درصد از نور تابشی در ناحیه‌­ی مرئی را باز می‌­تاباند. به این ترتیب جذب نور در گرافن می‌تواند با تقریب و به صورت بیان شود. شکل 8 این موضوع را نشان می­‌دهد.

میزان جذب نوری در گرافن

با افزایش تعداد لایه­‌های گرافن به کار گرفته شده می­‌توان میزان جذب نوری را افزایش داد. زیرا میزان جذب متناسب با تعداد لایه­‌هایی بوده که هریک2.3 درصد از نور تابشی را جذب می­‌کنند. باید توجه کرد که ثابت بودن جذب نوری در گرافن فقط یک تقریب است، چون همیلتونین، ساده­‌ترین ساختارباندی گرافن را نمایش می­‌دهد و غیر خطی بودن باندها در فواصل انرژی زیاد از نقاط دیراک را لحاظ نمی­‌کند.

در بیان دیگر مستقل بودن کامل جذب و هدایت نوری از فرکانس همان‌قدر صحیح است که فرمیون­­‌های دیراک بدون جرم ایده‌­آل هستند.

گرافن تحت تابش نور قوی و متمرکز

در شرایطی که گرافن تحت تابش نور قوی و متمرکز قرار می‌­گیرد، میزان جذب نوری با افزایش شدت نور کاهش می­‌یابد  زمانی که شدت نور از مقدار آستانه عبور می­‌کند، به حالت اشباع می­‌رسد.

این پدیده با استفاده از قانون انسداد پائولی قابل توضیح است که در آن تخلیه­ و پرشدن کامل باندهای ظرفیت و هدایت به ترتیب، مانع جذب بیشتر نور خواهد شد. گرافن می‌­تواند به عنوان یک جاذب اشباع­ شدنی پهن­‌باند در نظر گرفته شود که می‌­تواند در باندهای مایکروویو و نوری به کار گرفته شود. شکل 9 این موضوع را نشان می­‌دهد.

 

خواص جذب نور در گرافن چیست

 جذب نور نقش اساسی در آشکارسازهای نوری ایفا می‌کند. گرچه درصد جذب نور گرافن برای یک فیلم در ابعاد چند نانومتری بسیار بزرگ است اما همچنان برای استفاده در آشکارسازهای نوری بسیار کم است.

بنابراین بررسی وسیله‌ای برای افزایش میزان جذب در گرافن اهمیت فراوان دارد. گرافن اساسا مانند مدل درود فلزات رفتار می‌کند که می‌تواند تحریک پلاسمون سطحی را پشتیبانی کند که همراه با جذب بسیار قوی امواج الکترومغناطیسی هستند.

فرکانس‌های پلاسمون‌های سطحی گرافن

 فرکانس‌های پلاسمون‌های سطحی گرافن به سطح آلایش دارند که آن‌ها را قابل تنظیم با تزریق از طریق گیت حامل‌های بار می‌کند. بر مبنای مدل از ساختار نواری گرافن، فواصل بین اتمی، مقادیر پرش، و فرکانس به هنگام محاسبه‌ی رسانندگی اپتیکی با استفاده از معادلات فرنل در حد لایه‌های نازک از بین می‌رود.

این امر به صورت تجربی تأیید شده ولی هنوز مقادیر اندازه‌گیری شده به اندازه‌ی کافی برای محاسبه‌ی ثابت ساختار ریز دقیق نبوده است.

می توان گاف نوار انرژی گرافن را از 0 تا 0.25 الکترون-ولت (در حدود طول موج پنج میکرومتر) به وسیله‌ی اعمال ولتاژ در دمای اتاق به یک ترانزیستور اثر میدان دو پورتی ساخته شده از یک گرافن دو لایه‌ای، تنظیم نمود.

 

 

پاسخ اپتیکی نانو نوارهای گرافنی نیز در ناحیه‌ی تراهرتز

 پاسخ اپتیکی نانو نوارهای گرافنی نیز در ناحیه‌ی تراهرتز به وسیله‌ی اعمال یک میدان مغناطیسی قابل تنظیم است. علاوه بر این نشان داده شده است که سیستم‌های گرافن ـ گرافن اکسید از خود رفتار الکتروکرومیک بروز می‌دهند. که اجازه می‌دهند هم خواص اپتیکی خطی و هم خواص اپتیکی فوق سریع را تنظیم کرد.

خواص الکترونی گرافن چیست

آرایش اتمی اتم های کربن در گرافن باعث ایجاد خواص الکتریکی منحصر به فردی می شود. الکترون‌های غیر مستقر π، مقادیر قابلیت حرکت به بزرگی 200000 سانتی‌متر مربع بر ولت در ثانیه، در دمای اتاق دارد که در نتیجه مقاومت ذاتی مقدار کمِ 30 اهم بر مربع می باشد.

مطالعه انتقال الکترون

مطالعه روی انتقال الکترون در بسیاری از سیستم ها از طریق معادله شرودینگر انجام می‌شود، در صورتی که در مورد گرافن این اتفاق ممکن نیست. گرافن یک نیمه‌رسانا با گاف انرژی صفر است پس یک شبه فلز است. رابطه انرژی برحسب بردار موج در شش گوشه از منطقه بریلوئن، رابطه‌ای خطی است.

این بدان معنی است که جرم موثر الکترون‌ها و حفره‌ها در نزدیکی این نقاط صفر است. به بیان دیگر در نزدیکی این شش نقطه الکترون‌ها و حفره‌ها رفتاری شبیه ذرات نسبیتی دارند که توسط معادله دیراک برای ذرات با اسپین 1.2 توصیف می‌شوند.

الکترون‌ها و حفره‌ها در  ساختار شش گوشه

الکترون‌ها و حفره‌ها در چنین ساختاری فرمیون های دیراک و شش گوشه ناحیه بریلوئن نقاط دیراک نامیده می‌شوند (شکل 10). در حالت کلی برای ذرات دیراک با جرم m، یک گاف انرژی بین کم‌ترین انرژی الکترون E0=mc^2 و بیش‌ترین انرژی پوزیترون، E0- وجود دارد. در صورتی‌که انرژی الکترون خیلی بیشتر از E0 باشد.

انرژی رابطه‏‌ی خطی با بردار موج خواهد داشت: E=Chk برای فرمیون‌های دیراک بدون جرم که همان شرایطی است که در گرافن رخ می‌دهد، گاف انرژی است و این رابطه خطی برای هر مقدار انرژی الکترونی برقرار خواهد بود.

خواص حرارتی 

طبق آزمایشی که برای بررسی رسانندگی گرمایی روی گرافن تک لایه معلق با کمک طیف‌سنجی میکرو‌رامان هم‌کانون انجام شده است. مشاهده شده که در دمای اتاق مقادیر رسانندگی گرمایی تا 5300 وات بر میلی‌کلوین برای یک تک‌لایه گرافن گرفته شد.

مقادیر بسیار بالای رسانندگی گرمایی اشاره می‌کند که گرافن می‌تواند نانوروبان های کربنی را در رسانش گرمایی بهبود بدهد. ویژگی رسانایی گرمایی بسیار خوب گرافن برای کاربردهای الکترونیکی سودمند است و گرافن را به عنوان ماده‌ای بسیار عالی برای کنترل گرمایی معرفی می‌کند.

ویژگی های برجسته گرمایی گرافن چیست

ویژگی‌های برجسته گرمایی کشف شده گرافن، انگیزه‌ای مضاعف برای یکپارچه‌سازی گرافن با تکنولوژی نیمه‌رسانای اکسید فلز (CMOS) مکمل سیلیکون و همچنین تمامی مدارها و ادوات CMOS. به علاوه، این ویژگی بازه‌ی کابردهای گرافن را به عنوان ماده کنترل گرمایی در الکترونیک نوری، فوتونیک و مهندسی پزشکی، گسترش می‌دهد.

ترابرپذیری حامل‌ها در گرافن

فرمیون های دیراک بدون جرم در گرافن به عنوان ذرات نسبیتی عمل می‌کنند. یک از نتایج آن، قابلیت حرکت بالای حامل‌ها (هم برای الکترون‌ها و هم حفره‌ها) و سرعت اشباع بالای حامل‌ها است.

سرعت اشباع بیشترین سرعتی است که در آن حامل بار (یک حفره یا الکترون) می‌تواند از داخل یک ماده حرکت کند وقتی که یک میدان الکتریکی بالا اعمال شود.

قابلیت حرکت حامل ها 

قابلیت حرکت الکترون متناسب با سرعت اشباع است و در آن یک ثابت سرعت حامل را به میدان الکتریکی مربوط می‌کند از طریق ، Vd=μE که Vd سرعت رانش حامل بار است. در مورد گرافن در نزدیکی محل برخورد نوارهای هدایت و ظرفیت، حامل‌های بار با سرعت فرمی  Vf حرکت می‌کنند، که منجر به قابلیت حرکت (µ) بالا حتی در میدان‌های الکتریکی کوچک می‌شود.

انتشار حامل‌ها 

حامل‌های بار می‌توانند فاصله‌های میکرومتری بدون پراکندگی منتشر شوند. همچنین قابلیت حرکت الکترون‌ها و حفره‌ها تقریبا یکسان است و در بازه دمایی 0 تا 100 درجه کلوین، تحرک مستقل از دما خواهد بود.

 مکانیزم پراکندگی

 مکانیزم پراکندگی غالب، پراکندگی ناشی از نقص خواهد بود. پراکندگی توسط فونون‌های آکوستیکی، باعث می‌شود که در دمای اتاق و چگالی حامل‌های 10¹² بر سانتی‌متر مربع، قابلیت حرکت به اندازه 200000 سانتی‌متر مربع بر ولت در ثانیه شود.

مقاومت

همچنین در این حالت مقاومت صفحه گرافن به اندازه ^6-10 اهم در سانتی‌متر است که این مقدار حتی از مقاومت نقره هم کمتر است. همان‌طور که می‌دانیم نقره ماده‌ای است که در دمای اتاق پایین‌ترین مقاومت را دارد.

در حالی که مقادیر قابلیت حرکت محاسبه شده بالا هستند، فاکتورهای زیادی می توانند بر کاهش قابلیت حرکت تاثیرگذار باشند، شامل ناخالصی‌ها، نقص در شبکه و اثر متقابل لایه (بستر)‌ها.

 

 

 قابلیت حرکت حامل‌ها 

قابلیت حرکت حامل‌ها در گرافن روی سیلیکون اکسید، مستقل از دما است و به اندازه‌ی زیاد 10000 سانتی‌متر مربع بر ولت در ثانیه باشد، اما در عمل رسیدن به این مقدار مشکل است.

قسمت‌های باقی‌مانده روی گرافن به عنوان نتیجه‌ای از پردازش، به عنوان مراکز پراکندگی برای حامل‌ها عمل می‌کنند و قابلیت حرکت را کاهش می‌دهد. همچنین فونون‌های سطحی حامل‌ها را ، حتی در دماهای پایین و روی بسترهای با جنس مختلف از بستر پراکنده می‌کند.

روی بسترها با شبکه‌ منطبق‌تر با گرافن مانند بورنیترات شش وجهی، قابلیت حرکت حامل‌های گرافن می‌تواند به اندازه‌ی زیاد 25000 سانتی متر مربع بر ولت در ثانیه برسد.

مزیت استفاده از SiO_{2 در گرافن چیست}

همچنین گرافن معلق نیز در تلاشی برای حذف تمامی اثرات بستر (زیر لایه)، مورد مطالعه قرار گرفته است. مزیت استفاده از SiO₂ به عنوان بستر این است که گرافن روی SiO₂ در یک میکروسکوپ نوری قابل مشاهده است در حالی که بر روی بسترهای دیگر شفاف خواهد بود.

ساختار باندی 

بسیاری از خواص الکترونیکی و نوری جالب گرافن با توجه به ساختار باندی آن قابل توجیه است که در ادامه به بررسی آن می­پردازیم. در گرافن سطح فرمی درست در نقطه­‌ی تماس (عبور) باندهای π و *π(ظرفیت و هدایت) قرار می­‌گیرد و به این ترتیب گرافن دارای شکاف باند تقریباً صفر بوده (چند ) و خواص شبه فلزی را از خود نشان می‌­دهد.

تماس باندهای هدایت و ظرفیت

تماس باندهای هدایت و ظرفیت در شش نقطه و در گوشه‌­های  ناحیه­‌ی بریلوئن صورت می­‌گیرد که  سه نقطه با K و سه نقطه با ‘k نشان داده می­‌شود، همان‌گونه که در شکل 11 مشاهده می‌­شود.

در نزدیکی نقاط تماس باندهای هدایت و ظرفیت که با عنوان نقاط دیراک و یا خنثایی شناخته می­‌شوند، باندهای الکترونیکی خطی و دارای تقارن چرخشی هستند مطابق شکل 12. 

 

خطی بودن رابطه­‌ی پاشندگی در نقاط دیراک آن را از دیگر سیستم‌­های دوبعدی که به طور گسترده در سی سال اخیر در فیزیک ماده‌­ی چگال بررسی شده­‌اند متمایز می­‌سازد. به عنوان مثال چگالی حالت­‌ها در گرافن ثابت نبوده و به طور خطی با انرژی (فرکانس) افزایش می­‌یابد.