جبر خطی

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعه ماتریس ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد. جبر خطّی کاربردهای فراوان و گوناگونی در ریاضیات و محاسبات گسسته دارد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی،علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیداکرده است.
این درس شامل موضوعاتی است که در یک درس جبر خطی دانشگاهی بررسی می شود که شامل فضاهای برداری، تبدیلات خطی، مقدار یکه و بردار یکه،‌ دستگاه معادلات خطی می باشد.
لینک جبر خطی دانشگاه شریف

***جلسه 8 بی‌صدا است***

جبر خطی

جبر خطی همانطور که گفتیم شاخه‌ای از ریاضیات است که مورد توافق جهانی قرار گرفته تا پیش نیازی برای درک عمیق‌تر از یادگیری ماشین باشد. جبر خطی متشکل از نظریه‌ها و یافته‌های بسیاری است و تأثیر قابل توجهی در حوزه آمار داشته است. جبر خطی زیربنای بسیاری از ابزارهای کاربردی ریاضی مانند سری فوریه و گرافیک کامپیوتری نیز می‌باشد.

جبر خطی درباره ترکیبات خطی است، یعنی با استفاده از محاسبات بر روی ستون‌هایی از اعداد به نام بردار و آرایه‌هایی از اعداد به نام ماتریس، برای ایجاد ستون‌ها و آرایه‌های اعداد جدید بکار می‌رود. جبر خطی مطالعه خطوط و صفحات، فضاهای برداری و نگاشت‌هایی است که برای تبدیل‌های خطی مورد نیاز است.

جبر خطی در واقع یک رشته مطالعاتی نسبتاً جدید است که ابتدا در دهه 1800 به منظور یافتن مجهولات در سیستم‌های معادلات خطی رسمیت یافت. معادله خطی فقط مجموعه‌ای از اصطلاحات و عملیات ریاضی است که در آن برخی از عبارت‌های ناشناخته مفهوم پیدا می‌کنند.

جبر خطی ابزار ارزشمندی در سایر شاخه‌های ریاضیات به ویژه آمار نیز به شمار می‌رود و معمولاً انتظار می‌رود دانشجویانی که در رشته آمار تحصیل می‌کنند، حداقل یک‌ترم جبر خطی یا جبر کاربردی را در مقطع کارشناسی گذرانده باشند.

برخی از آثار جبر خطی در آمار عبارتند از:

• استفاده از نماد برداری و ماتریس، به ویژه با آمار چند متغیره
• راه حل‌های حداقل مربعات و حداقل مربعات وزنی، مانند رگرسیون خطی
•  تخمین میانگین و واریانس ماتریس‌های داده
• ماتریس کوواریانس که نقش کلیدی در توزیع‌های گاوسی چند جمله‌ای ایفا می‌کند
• تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی برای کاهش داده‌ها که بسیاری از این عناصر را با هم جمع می‌کند

همانطور که می‌بینید، آمار مدرن و تجزیه و تحلیل داده‌ها، حداقل تا آنجا که به علایق یک متخصص یادگیری ماشین مربوط می‌شود، به درک و ابزار جبر خطی بستگی دارد.

کاربردهای آموزش جبر خطی

از آنجایی که جبر خطی ریاضیات داده‌ها است، ابزار جبر خطی در بسیاری از حوزه‌ها استفاده می‌شود. ابزارهای ریاضی خاصی ریشه در جبر خطی دارند که به طور خلاصه عبارتند از:

•  ماتریس‌ها در مهندسی: مانند خط فنر
•  نمودارها و شبکه‌ها: مانند تجزیه و تحلیل شبکه‌ها
•  ماتریس مارکوف: جمعیت و اقتصاد، مانند رشد جمعیت
•   برنامه ریزی خطی: روش بهینه سازی سیمپلکس
•  سری فوریه: جبر خطی برای توابع، به طور گسترده در پردازش سیگنال استفاده می‌شود
• جبر خطی برای آمار و احتمال: مانند حداقل مربعات برای رگرسیون
•  گرافیک کامپیوتری: مانند ترجمه‌های مختلف، تغییر مقیاس و چرخش تصاویر

یکی دیگر از کاربردهای جالب جبر خطی این است که از نوع ریاضیاتی است که آلبرت اینشتین در بخش‌هایی از نظریه نسبیت خود استفاده کرده است. به طور خاص تانسورها و حساب تانسوری او همچنین نوع جدیدی از علامت گذاری جبر خطی را به فیزیک معرفی کرد که نماد انیشتین یا قرارداد جمع آوری اینشتین نامیده می‌شود. مبانی ماتریس و جبر خطی، آمار و جبر خطی و سایر مباحث مربوط به این گرایش ریاضی را می‌توانید در کلاس جبر خطی مجله علمی اموزشی مکتب خونه به صورت آنلاین فرا بگیرید.