آمار و احتمال

مبحث احتمال یکی از دروس هیجان‌انگیز ریاضیات است که از مقطع متوسطه شروع و در برخی رشته‌های دانشگاهی نیز وجود دارد. حتماً مثال طاس در کتاب درسی آمار و احتمال را به خاطر که آنچه از ما می‌خواستند این بود که محاسبه کنیم برای مثال از 50 باری که طاس را پرتاب می‌کنیم چند بار آن شیر و چند بار احتمال آمدن خط وجود دارد. 

آمار و احتمال نظام جدید و جبر و احتمال نظام قدیم

 ازنظر محتوا تغییر چندانی باهم ندارند. تنها مطالب با اهمیت که در نظام قبل در دو کتاب گنجانده شده بود، این بار در یک کتاب گردآوری شده‌اند. 

مفهوم احتمال

شاید بهتر است بگوییم مفهوم احتمال همان شانس رخداد دادن یک پیشامد یا توصیف پدیده‌های تصادفی به‌حساب می‌آید و یک پیشامد آن چیزی است که پیش می‌آید. امروزه مفهوم احتمال تنها یک درس و مبحث دانشگاهی نیست. ابزاری است که اقتصاددان‌ها از آن استفاده می‌کنند. و با حوزه‌های دیگر مثل علوم طبیعی، هوش مصنوعی، اقتصاد و غیره در ارتباط است. احتمال در واقع احتمال یک پیشامد به تعداد دفعات کل پیشامد را در نظر دارد.

اصطلاحات در مبحث احتمال

• فضای نمونه: به تعداد حالت‌هایی که برای یک پدیده‌ی تصادفی رخ می‌دهد فضای نمونه می‌گویند و آن را با s نمایش می‌دهند. برای مثال فضای نمونه‌ی پرتاب دو سکه را بنویسید: -هر دو سکه خط-هردو سکه شیر – سکه اول شیر سکه دوم خط – سکه اول خط سکه دوم شیر
• پدیده‌ی تصادفی: به پدیده‌ی طبیعی و یا آزمایشی که نتیجه‌ی آن را نمی‌دانیم یا نامشخص است پدیده‌ی تصادفی می‌گوییم. برای مثال: انداختن تاس –پیدا کردن سیب خراب از یک جعبه‌ی صدتایی
• پیشامد: هر زیرمجموعه‌ای از یک فضای نمونه را پیشامد می گویند. احتمال وقوع پیشامد A را با p(A) نشان می دهیم.

مهم: اگر فضای نمونه S دارای n عضو باشد، آنگاه S دارای پیشامد است.

تعاریف پیشامد

پیشامد ناسازگار: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه‌ S باشد و طوری باشد که نتوانند باهم اتفاق بیفتند به آن پیشامد ناسازگار می‌گویند. در این صورت: A∩B=ꬾ و P(A∩B)=0 است که با توجه به این نکته می‌توانیم قاعده جمع احتمال را به صورت زیر بیان کنیم:

P(A∩B) = P(A) + P(B)

پیشامد مستقل: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه‌ S باشد و وقوع دیگری بر طرف دیگر تأثیر ندارد به این دو پیشامد مستقل می‌گوییم و قاعده‌ی آن به صورت زیر خواهد بود:

P(A∩B) = P(A) P(B)

به زبان ساده اگر A و B دو پیشامد باشند:

• پیشامد A∩B وقتی رخ می‌دهد که هر دو پیشامد اتفاق بیفتد.
  پیشامد A∪B  وقتی رخ می‌دهد که حداقل یکی از پیشامدها رخ دهد.

احتمال: به نسبت حالات ممکن وقوع پیشامد به تعداد کل فضای نمونه احتمال می‌گویند.

قوانین و قضایای احتمال

• قانون جمع احتمالات: اگر Aو B دو پیشامد از فضای نمونه ی S باشد احتمال وقوع A یا B را به صورت زیر محاسبه می‌نماییم.
• متمم پیشامد: پیشامد اتفاق نیفتادن پیشامد A را متمم آن می گوییم و با 'A نشان می‌دهیم.

مهم: در حالت کلی داریم P(ꬾ)=0 و P(S)=1 و برای هر پیشامد A داریم:

 P(A) ≤ 1≥ 0

قضیه: P(Ø) = 0

قضیه: اگر Bn ,… ,B2 ,B1  پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشند، آنگاه:

• P(B1 ∪ B2 … ∪ Bn) = P(B1) + P(B2) + … + P(Bn)

 نتیجه: اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشد، آنگاه:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

قضیه: اگر A یک پیشامد و ´A متمم آن باشد (A ∪ A´ = S)، آنگاه:

• P(A) + P(A´) = 1    یا    P(A´) =1 - P(A)

قضیه: اگر A و B دو پیشامد دلخواه باشند، آنگاه:

• P(B - A) = P(B) – P(A ∩ B)

نتیجه: اگر A و B دو پیشامد باشند که A ⊂ B، آنگاه:

الف) P(B - A) = P(B) - P(A)              ب) P(A) ≤ P(B)

احتمال شرطی

در واقع به زبان ساده بخواهیم بگوییم این‌طور است که زمانی که با عدم قطعیت و با احتمال با مسائل روبرو خواهیم شد گاهی سؤالات شرطی برسر راه ما قرار دارند مانند اینکه «اگر فردا برف ببارد، چقدر احتمال دارد راه برخی روستاهای دهستان‌های شهرستان کنگاور مسدود شود؟ اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه S باشد› 0 P(B)، دراین صورت احتمال وقوع A به شرطی است که بدانیم پیشامد B نیز رخ می دهد و رابطه ی آن به صورت زیر خواهد شد:

احتمال غیرهم شانس

فرض کنید یک تاس داریم که سه وجه آن عدد یک، دو وجه آن عدد دو و وجه دیگر عدد سه است. به نظر شما احتمال افتادن هر سه وجه برابر است؟ خیر. همان‌طور که در مثال بیان کردیم، در فضای نمونه‌ای  S را فضای احتمال وقوع پیشامدهای ساده با یکدیگر برابر نیست . هرگاه حداقل دو پیشامد ساده از فضای نمونه   احتمال نابرابر داشته باشند. S  را فضای نمونه‌ای با احتمال غیرهم شانس می‌نامیم. در فضای نمونه‌ای متناهی با احتمال غیر هم شانس اگر فضای نمونه‌ای و یک زیرمجموعه K عضوی S باشد خواهیم داشت:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(S) = 1
• P(A) = P(a1) + P(a2) + ... + P  (ak)

قانون ضرب احتمال

اگر A و B دو پیشامد باشند به طوریکه P(A) ≥0:

• P(A∩B)= P(A) P(B⃒A)

 قانون ضرب احتمال را می توان به راحتی برای سه پیشامد نیز نوشت:

اگر  پیشامدهایی با احتمال ناصفر باشند آنگاه:

• P(A1∩A2∩A3)= P(A1) P(A2|A1) P(A3|( A1∩A2))

قانون احتمال کل

زمانی که از داده‌های جزیی به نتیجه‌ی کلی می‌رسید. برای مثال داده‌هایی که از جمع‌آوری خانوارها به دست می‌آید منجر به آمار کلی کشوری می‌گردد. در آمار و احتمالات قانون احتمال کامل به شرح زیر است:

• P(A) = ∑ P(A ∩ Bi) = ∑ P(A | Bi) P(Bi)

قانون بیز

توماس بیز آماردان و فیلسوف و کشیش انگلیسی بود که بعد از مرگش ریچارد پرایس از روی یادداشت‌های او این قانون را منتشر نمود. یکسری پیش‌فرض بابت یک اتفاق برای مثال با شخصی قرار دارید که نمی‌دانید صادق هست یا خیر. قانون بیز که از مهم‌ترین قوانین در علم احتمال است، این موضوع را به زبان ریاضی فرمول‌بندی می‌کند. اگر فضای نمونه Ω به B1 ،B2 و ... افراز شده باشد، داریم:

• P(Bi | A) = (P(A | Bi) P(Bi)) / ∑P(A | Bj) P(Bj)

مخرج برابر با P(A) است.

برای درک و یادگیری بیشتر این مطلب باید تمرینات بسیار انجام و دوره آموزش احتمال و کاربردها مرتبط را مشاهده نمایید.