آموزش رایگان احتمال و کاربردها

درس «احتمال و کاربردها» در نیم‌سال اول سال تحصیلی 97-96، در دانشکده علوم ریاضی دانشگاه صنعتی شریف ضبط شده‌است.

درس احتمال و کاربردها اولین درس احتمال در دوره کارشناسی ریاضی است. پیش‌نیاز این درس ریاضی ۱ و ۲ است. آشنایی با ریاضی گسسته در این درس می‌تواند یادگیری فصل‌های ابتدایی درس را تسهیل کند. کتابی که این درس بر اساس آن ارائه شده است کتاب A first course in probability نوشته Sheldon Ross (نسخه هشتم) است.

در این درس ما ابتدا به معرفی مفهوم احتمال می‌پردازیم. مفهوم احتمال با این‌که موضوعی است که در زندگی روزمره بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد ولی تعریف دقیق آن چالش زیادی ایجاد می‌کند. پس از آن ما به معرفی فضای نمونه، تابع احتمال و اصول احتمال می‌پردازیم.

احتمال بر پایه پیشامدهای هم‌احتمال جزء اولین موضوعاتی است که در درس احتمال مطرح می‌شود. در حقیقت موضوع احتمال با تعداد متناهی پیشامد در این درس مطرح می‌شود. به طور عمده این بخش از درس مبتنی بر مثال‌هایی شمارشی است. تسلط بر اصول شمارش و نحوه مناسب استفاده از آن برای این بخش از درس می‌تواند بسیار مفید باشد.

پس از آن به معرفی مفهوم احتمال شرطی و استقلال می‌پردازیم. این دو مفهوم از مهم‌ترین مفاهیمی است که در درک درست علم احتمال می‌تواند کمک فراوانی بکند. مثال‌های زیاد در این رابطه معرفی و بررسی می‌شود. قانون احتمال کل که محاسبه احتمال را به کمک احتمال شرطی تسهیل می‌کند جزء مفاهیمی است که در این بخش از درس مطرح می‌شود. همچنین در این بخش قانون بیز را معرفی و بررسی می‌کنیم. قانون بیز یکی از پرکاربردترین قوانین احتمال در سایر علوم است. این قانون که به‌نوعی مبنا و اساس شاخه آمار بیزی است کاربردهای فراوان و نتایجی فوق‌العاده دارد. در این بخش از درس ما کاربردهایی ساده ولی نابدیهی از این قضیه آشنا می‌شویم و می‌بینیم که چگونه می‌توان از آن برای محاسبه احتمال‌های شرطی استفاده کرد.

در ادامه این درس ما متغیرهای تصادفی و مفهوم امید ریاضی (میانگین) و واریانس را معرفی می‌کنیم. مفهوم متغیر تصادفی یکی از کلیدی‌ترین مفاهیم درس احتمال است که به کمک آن مفاهیم زیادی در علم احتمال و سایر علوم را می‌توان بهتر مدل‌سازی کرد. درک این مفهوم از اساسی‌ترین موضوعات درس احتمال است.

سپس به معرفی برخی متغیرهای تصادفی شناخته‌شده گسسته و پیوسته می‌پردازیم. متغیرهای یکنواخت، دوجمله‌ای، هندسی و پواسون از مهم‌ترین توزیع‌های گسسته‌ای است که به مطالعه آن می‌پردازیم و متغیرهای یکنواخت، هندسی، نرمال و گاما نیز از مهم‌ترین متغیرهای پیوسته هستند که در این بخش بررسی می‌شوند. علاوه بر معرفی این متغیرها این‌که در چه مواردی این متغیرها کاربرد دارند مورد بحث و بررسی قرار می‌گیرد.

یکی از مفاهیم مهم دیگری که در این درس بررسی می‌شود توزیع توأم متغیرهای تصادفی است. این مفهوم به طور دقیق تعریف می‌شود و خواص آن مطالعه می‌شود. مفهوم متغیرهای تصادفی مستقل نیز در این بخش مطرح می‌شود. سعی می‌شود این مفاهیم با مثال‌های متعدد بررسی شوند.

در ادامه به بررسی خواص امید ریاضی و واریانس می‌پردازیم. تأثیر عملیات جمع و ضرب بر روی امید ریاضی و واریانس متغیرهای تصادفی و به طور خاص برای متغیرهای تصادفی مستقل بررسی می‌شود. به‌علاوه در این بخش به معرفی کوواریانس و ضریب همبستگی نیز پرداخته می‌شود و در مورد خواص آن‌ها صحبت می‌شود.

در ادامه درس به مطالعه تابع مولد گشتاور می‌پردازیم. محاسبات مرتبط با تابع مولد گشتاور و ارتباط آن با توزیع‌ها بررسی می‌شود.

در بخش انتهایی درس به مطالعه دو قضیه اساسی حدی در احتمال می‌پردازیم. قضیه اول قانون اعداد بزرگ است که به ارتباط متغیرهای تصادفی مستقل و هم‌توزیع و میانگین آن‌ها می‌پردازد. این قضیه به‌نوعی جزء مهم‌ترین قضایای حدی در رشته احتمال است. قضیه دوم قضیه حد مرکزی است که هم به‌نوعی در رابطه با سرعت هم‌گرایی در قانون اعداد بزرگ صحبت می‌کند و هم در سایه این قضیه مشخص می‌شود که چرا توزیع نرمال توزیعی با این اهمیت، فراوانی و کاربرد در مثال‌های واقعی است.